Гравюра на меди «Меланхолия I» известнейшего художника эпохи западноевропейского Ренессанса Альбрехта Дюрера окутана тайной, полна символов и аллегорий. В неимоверно малые размеры своего творения непревзойденный мастер гравюры сумел зашифровать столько тайного смыла и посланий, которые до сих пор заводят в тупик искусствоведов. Различные версии разгадок этих тайн далее в обзоре.
Альбрехт Дюрер (нем. Albrecht Dürer, 1471-1528) - немецкий живописец и график, первый теоретик искусства, один из величайших мастеров Северного Ренессанса, был третьим ребенком в семье из восемнадцати рожденных и восьми выживших детей. Отец, золотых дел мастер, пытался с детства приобщить сына к ювелирному ремеслу,которым сам зарабатывал на жизнь.
Но вопреки его ожиданиям, в пятнадцать лет юный Альбрехт становится учеником Михаэля Вольгемута – ведущего нюрнбергского художника, живописца и великолепного гравера. От него то прилежный ученик и получил те познания и умения, которые использовал на протяжении своего творческого пути. К тому же, первый успех юному художнику принесли именно деревянные и медные гравюры. Впоследствии он стал новатором в этой технике. А о живописных работах Дюрера и говорить не приходится - это шедевры мирового искусства.
Познания Дюрера в астрономии, математических и естественных науках были потрясающими. Он создавал карты звездного неба, следя за небесными светилами с крыши собственного дома, на которой располагалась небольшая обсерватория. Он рассчитал значения, для впервые созданного в Европе, магического квадрата, создал теоретические труды об искусстве.
«Меланхолия I»
https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-006.jpg" alt="Фрагмент гравюры «Меланхолия I». Автор: А. Дюрер. ¦ Фото: kaplyasveta.ru." title="Фрагмент гравюры «Меланхолия I».
В центре композиции видим женщину с крыльями и в венке, олицетворяющую собой Логику – это Муза Дюрера. Неподвижно сидящая на крыльце, она погружена в меланхолическую задумчивость и печаль: женщина хоть имеет крылья, но не может проникнуть за завесу тайны Вселенной. Все, что вокруг происходит - проходит без ее участия. Это ее угнетает и навевает меланхолическое настроение.
https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-007.jpg" alt="Фрагмент гравюры «Меланхолия I». Автор: А. Дюрер. ¦ Фото: kaplyasveta.ru." title="Фрагмент гравюры «Меланхолия I».
Гравюра размерами 23,9 х 18,8 сантиметров перенасыщена деталями и предметами. Здесь можно увидеть песочные и солнечные часы, весы, колокол, циркуль, сферу, многогранник, высеченный магический квадрат, а так же строительные инструменты.
А самым интереснейшим предположением российского искусствоведа Паолы Волковой является версия: на гравюре изображена не крылатая женщина, а сам Альбрехт Дюрер с крыльями ангела, что впрочем вполне закономерно.
Магический квадрат
https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-004.jpg" alt="Фрагмент гравюры «Меланхолия I». Автор: А. Дюрер. ¦ Фото: kaplyasveta.ru." title="Фрагмент гравюры «Меланхолия I».
Первая из версий: художник задумал создать несколько работ, отображающих меланхолию, поэтому и начал нумеровать свои произведения. Но как известно, продолжения серии гравюр, посвященных Меланхолии, у Дюрера больше не было.
Вторая версия опиралась на психологические учения того времени, которые гласили, что существуют три вида меланхоликов. Одни из них были творческими людьми, с развитой фантазией, другие – политики и ученые, с развитым умом, и третьи - люди религии и философы, с развитой интуицией. Поэтому Дюрер, считавший себя меланхоликом, пишет на гравюре: MELENCOLIA I.
По третьей версии: «I» - это вовсе не римская цифра, а латинская буква «i». А в совокупности с меланхолией - означает «Прочь, меланхолия».
И последняя, самая более вероятная. Так как техника гравюры выполняется в зеркальном отражении Дюрер ошибся при написании названия, что было не первым случаем в его практике. Вместо буквы "А" - конечной буквы, он начал писать букву "М". И чтобы исправить свою ошибку, он решил таким образом выйти из сложившейся ситуации.
«Меланхолия I» - является последней из серии трех известных «мастерских гравюр» Дюрера и самой любимой его работой. Первые две - это «Иероним в келье» и «Рыцарь, смерть и дьявол».
Во всех трех присутствует действующее лицо: рыцарь, святой Иероним, крылатая женщина. По мнению многих искусствоведов в этих трех работах художник описал разные состояния души человека.
Более подробно узнать о работе «Рыцарь, смерть и дьявол» можно в обзоре:
На основе теоретического анализа пандиагональных квадратов 4×4 показаны их особенности «структуры»: инвариантами строения пандиагональных квадратов 4×4 являются пары чисел равные в сумме одному из двух чисел Фибоначчи – 13 или 21. Выявлено, что любой вариант множества шести цифр этого и ему подобных пандиагональных квадратов 4×4, образующих непрерывную симметричную конфигурацию, равен в сумме целому числу – 51. Построена геометрическая фигура «куб в кубе», обладающая свойствами «золотой симметрии» пандиагональных квадратов 4×4. Свойствами «золотой симметрии» обладают все числа диагоналей куба (два числа образуют в одном случае – в сумме число 13, в другом – 21), а все плоскости, имеющие 4 угла (числа) как внутреннего, так и внешнего квадратов геометрической фигуры образуют в сумме число Фибоначчи – 34.
Введение
На основе теоретического анализа квадратов Кхаджурахо, Дюрера и подобных им квадратов 4×4 выявлены особенности их «структуры»: инвариантами строения пандиагональных квадратов 4×4 являются пары чисел равные в сумме одному из двух чисел Фибоначчи – 13 или 21.
Магический квадрат – квадратная таблица n×n, заполненная n 2 различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Самый ранний уникальный магический квадрат 4×4 обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо. Квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия», считается самым ранним в европейском искусстве (1514г.). Сумма чисел квадрата Дюрера на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате, в квадрате из угловых клеток, в квадратах, построенных «ходом коня» (2+12+15+5 и 3+8+14+9), в вершинах прямоугольников, параллельных диагоналям (2+8+15+9 и 3+12+14+5), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.
Существует 48 пандиагональных квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание ещё и симметрию относительно торических параллельных переносов, то остаётся только 3 существенно различных квадрата (рисунок 2).
Основная часть
Мною проанализирована «структура» пандиагональных квадратов 4×4 и выявлены инвариантные части их строения (рисунок 3). Инвариантами строения пандиагональных квадратов 4×4 являются пары чисел равные в сумме одному из двух чисел Фибоначчи – 13 или 21. Различные варианты симметричного комбинирования этих числовых пар образуют множество пандиагональных квадратов 4×4.
Квадрат Дюрера (и ему подобные пандиагональные квадраты 4×4) обладают симметрией золотой пропорции. Например, на рисунке 4 показано красными и синими квадратами варианты симметрий, при которых среднее арифметическое значение от суммы красных составляющих квадратов в возможных позициях (4 или 2, при вращении в разные стороны) равно 51. Таким образом, сумма всех чисел квадрата – 136, из которых 85 – синие, 51 – красные. 136/85=1,6; 85/51=1,667.
На основе квадрата Дюрера нами построена геометрическая фигура «куб в кубе», обладающая свойствами симметрии пандиагональных квадратов 4×4 (рисунок 5). Подобное «преобразование» стало возможным при расположении вертикальных столбцов чисел квадрата Дюрера под определенным углом, образуя, таким образом, куб в кубе. При этом свойствами «золотой симметрии» обладают все числа диагоналей куба (два числа образуют в одном случае – в сумме число 13, в другом – 21), а все плоскости, имеющие 4 угла (числа) как внутреннего, так и внешнего квадратов построенной фигуры образуют в сумме число Фибоначчи – 34.
Заключение
- На основе теоретического анализа пандиагональных квадратов 4×4 показаны их особенности «структуры»: инвариантами строения пандиагональных квадратов 4×4 являются пары чисел равные в сумме одному из двух чисел Фибоначчи – 13 или 21.
- Выявлено, что любой вариант множества шести цифр квадрата Дюрера и ему подобных пандиагональных квадратов 4×4, образующих непрерывную симметричную конфигурацию, равен в сумме целому числу – 51.
- Построена геометрическая фигура «куб в кубе», обладающая свойствами «золотой симметрии» пандиагональных квадратов 4×4. Свойствами «золотой симметрии» обладают все числа диагоналей куба (два числа образуют в одном случае – в сумме число 13, в другом – 21), а все плоскости, имеющие 4 угла (числа) как внутреннего, так и внешнего квадратов геометрической фигуры образуют в сумме число Фибоначчи – 34.
Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter .
Глава № 5
Магические квадраты
Мы называем их магическими квадратами или планетарными квадратами. Или печатями, камеями, таблицами. Как и многие другие магические инструменты, они под разными именами известны в различных системах, но как бы их ни называли, они датируются сотнями или даже тысячами лет. Самым ранним из записанных, является квадрат 3 на 3, 3-го порядка, который известен сейчас как квадрат Сатурна, а в Китае звался Ло Шу.
Черепаха и квадрат Сатурна
Его открытие приписывается великому императору Ю, «Мудрому Королю», и относится примерно к 3000 году до н. э. . Однажды, прогуливаясь вдоль реки Ло, притока Желтой реки, император нашел черепаху. По таинственным числовым узорам на ее спине император Ю понял, что это магическое создание и взял ее с собой во дворец. Черепаха стала объектом почитания, а священные узоры на ее панцире вызвали восторг у придворных ученых.
Рис. 17. Узор но панцире черепахи
Как повествуется в этой истории, китайский двор восхищали необычные скопления пятнышек на черепашьем панцире: в черных группах число этих пятнышек было нечетным, а в белых - четным (рис. 17). Сама числовая последовательность получила название Ло Шу - Письмена Реки Ло. Она обнаруживается в китайских математических текстах, начиная примерно с 2200 года до н. э. Гораздо позже, в 1275 году н. э., математик Ян Хуэй подробно описал магические квадраты в труде, озаглавленном: «Возобновление древних математических методов для объяснения странных качеств чисел». Ян Хуэй предварил свою книгу высказыванием о том, что он опирался на работы более ранних математиков. Он не объяснил, как получил большинство квадратов 3, 4 и 5-го порядка, но привел простую формулу для построения квадрата Ло Шу «с нуля» (рис. 18).
Рис. 18. Построение Ло Шу
Напишите числа от 1 до 9 в три ряда и поверните написанное направо таким образом, чтобы 1 оказалась сверху, а 9 - снизу (А). Поменяйте местами 1 и 9 (В), и 3 и 7 (С). Затем опустите 9 так, чтобы она оказалась между 4 и 2 в верхнем ряду (D); придвиньте друг к другу 3, 5 и 7 во втором ряду и поместите 1 между 8 и 6 в нижнем ряду (Е). Вуаля!
Для того чтобы использовать полученную конфигурацию в качестве магического квадрата, к ней следует присовокупить линии координатной сетки, посредством которых можно создавать ячейки для цифр. И тогда нам предстанет тот же самый Ло Шу. Восемь внешних групп пятнышек на панцире черепахи стали восемью триграммами «И-Цзин» (рис. 19). Ло Шу также близок к практике фэн-шуй, девять позиций которого известны как «Девять Блуждающих Звезд», триграмме богуо, схеме 3 на 3, определяющей атрибуты и «исцеление» пространства фэн-шуй . Я нашла немного из того, что могло бы прояснить все детали упомянутой истории со священной черепахой, но без сомнения, - «И-Цзин», Квадрат Сатурна, По Шу и фэн-шуй - являются прямыми потомками этого древнего животного.
Рис. 19. И-Цзин/Ло Шу
Игры с математикой квадрата Сатурна
Это самый маленький квадрат и хороший объект для демонстрации базовой информации, относящейся к функциям и терминологии. Данный квадрат является кладезем математических трюков, тем более забавных, что вам известно, сколь легко его создать.
Рис. 20. Квадрат Сатурна
Во-первых, будучи квадратом 3-го порядка, он имеет три клетки в длину, три клетки в высоту и содержит в себе числа от 1 до 9. Самое большое число в квадрате соответствует количеству имеющихся в нем клеток (рис. 20, 21).
Сумма чисел в каждой строке (А) равна 15, как и в каждой колонке (В).
Сумма чисел по диагонали, как от верхнего левого до нижнего правого угла, так и от верхнего правого до нижнего левого (С), также равна 15.
Рис. 27.Математика квадрата Сатурна
Если вы сложите вместе все числа в квадрате - 1+2+3+4+5+6+7+8+9 - сумма составит 45.
Разделите 45 на порядок квадрата - 3 - и вы получите 15, результат, равный сумме любой строки, столбца и диагонали.
Но это еще не все.
Сложите пару чисел, расположенных напротив друг друга. В среднем ряду это 3 + 7. В средней колонке это 9+1. Угловые диагональные пары - 4 + 6 и 2 + 8. Каждая пара в сумме дает 10.
Теперь, обратите внимание на число 5 в центре квадрата, единственное число, оставшееся без пары. Удвойте его, сложив само с собой: 5 + 5. Сумма равна 10, что соответствует расположенным напротив друг друга парам. Это также будет верно и для большего квадрата нечетного порядка: найдите клетку в нулевой точке, удвойте число, находящееся в ней, а затем определите пары, которые дают такую же сумму.
Вернемся к истории. Ло Шу мигрировали из Китая или нечто подобное появилось где-то в других местах независимо?
Рис. 22. Розетка Сатурна
Рис. 23. Гадание по Ло Шу
И то, и другое. Майя был известен этот квадрат, как и северным африканцам и доисторическим французам . Древние вавилоняне вписывали в этот квадрат восьмиконечную звезду Иштар, чтобы использовать его для определения направлений (рис. 22). Один современный источник предлагает вариант использования квадрата прорицателями: нарисуйте сетку и числа в ней белым мелом на черной бумаге. Затем поместите хрустальный шар в центр, где обычно находится число 5 (рис. 23). Этот вариант квадрата известен как «Египетская фигура», так что, быть может, китайская черепаха имела пращуров, живших во времена фараонов . Между тем, квадраты 4-го порядка были известны в Индии примерно с 550 года н. э., когда Варахамихира написал текст о предсказаниях под названием «Брихатсамхита». Некоторые из предложенных Варахамихирой квадратов 4-го порядка содержали в себе зашифрованные рецепты благовоний, тогда как другие назывались качапута, дословно «панцирь черепахи», что опять указывает на связь с черепахой Ло Шу .
Квадраты 5-го и 6-го порядков были известны в исламских странах к 983 году н. э. В тексте «Кабс аль-Анвар», написанном Надруни, примерно в 1384 году н. э., перечислены пары семи планет и квадратов, как показано на рисунке 24, в порядке, повторенном в 1498 году Пачоли в «De Viribus» и Корнелиусом Агриппой в «De Occulta Philosophia» («Оккультной философии») в 1531 году. Эта последовательность известна как Халдейский порядок, и в ней сопоставляется размер каждого квадрата с соответствующим расстоянием от каждой планеты до Земли: чем дальше, тем меньше клеток, чем ближе, тем клеток больше.
Рис. 24. Халдейский порядок
С незапамятных времен люди знали, что Солнце находится ближе к Земле, чем Марс (кроме Великих Противостояний), Юпитер и Сатурн. Наблюдая за движением Луны, Меркурия и Венеры древние астрономы установили, что иногда каждая из этих планет проходила между Землей и Солнцем, а Меркурий и Венера периодически огибали его. С Луной такого никогда не случалось, что побудило наших предков прийти к логичному умозаключению, что она является ближайшей соседкой Земли. И наоборот, Марс, Юпитер и Сатурн никогда не оказывались между нами и нашей звездой, напротив, описывая круг, они периодически проходили позади Солнца, что и привело к убеждению, что данные планеты удалены от Земли на более далекое расстояние, чем Солнце. Ошибочно? Да, но едва ли безумно. Отсюда - «халдейский порядок», который до сих пор имеет сильное влияние на использование магических чисел на Западе. Традиция долгая, логики в ней немного, так что делайте собственные выводы о том, стоит ли использовать халдейский порядок и каким образом.
Не существует квадратов 2-го порядка: четырехклеточный квадрат не демонстрирует ничего удивительного при сложении чисел 1, 2, 3 и 4. Агриппа дал этому обстоятельству оригинальное объяснение: число 2 было проклято из-за действий первых двух людей, Адама и Евы, что сделало квадрат 2-го порядка невозможным. Другое его «доказательство» не уступало первому: он считал, что четыре элемента - Земля, Воздух, Огонь и Вода, соответствующие здесь числам от 1 до 4 - неадекватны. Агриппа описал и квадрат 1-го порядка - единственную клетку, содержащую число 1, которое он отождествлял с Богом . Быть может, это странное обоснование и послужило причиной бездействия инквизиции по отношению к самому автору?
Волшебные и магические квадраты
Теперь самое время провести различие: есть два вида квадратов, которые можно условно назвать «волшебными» и «магическими».
Волшебные квадраты - это вид «развлекательной математики», что-то вроде кроссвордов для поклонников данной науки. Они называются «волшебными», поскольку позволяют жонглировать числами путем самых невероятных комбинаций. Хотя их самые ранние версии имели метафизическую подоплеку, для большей части исторических или современных волшебных квадратов не существует мистических ассоциаций. Они просто не предназначены для этих целей, равно как и кроссворды не могут являться путеводной нитью для Хроник Акаши .
Квадраты второго типа, настоящие магические квадраты, схожи с рервыми своей математической составляющей, но, кроме того, они имеют очень древние корни и долгую историю магического и оккультного использования. Вот о магических квадратах и поговорим далее.
Квадрат Дюрера (почти квадрат Юпитера)
Среди множества людей, очарованных волшебными/магическими квадратами, были художник Альбрехт Дюрер (1471–1528) и американский политик Бенджамин Франклин (1706–1790). Франклин, служивший в конце 1730-х, задолго до своего политического взлета, секретарем в Пенсильванской ассамблее, скуки ради занимался составлением квадратов . Хотя оба, вероятно, наслаждались этими головоломками, Франклин (который был масоном) и Дюрер, конечно же, интересовались и метафизическими аспектами.
Квадрат Юпитера появляется на гравюре Дюрера «Меланхолия» - или почти появляется, поскольку Дюрер позволил себе здесь некоторые вольности (рис. 25, 26, 27). Зачем использовать квадрат Юпитера, если меланхолия метафизически соответствует планете Сатурн? Быть может, исцеления ради, Юпитер (он же Иов, как в слове «веселый» ) должен был противодействовать «сатурнальной» угрюмости?
Картина «Меланхолия» наполнена оккультными ассоциациями, над которыми до сих пор бьются историки искусств: сложное геометрическое тело, лестница в семь ступеней, компас (показывающий 51°25? - значение, используемое для создания семиконечной звезды или разделения круга на 7) и другие реквизиты (рис. 25). Известно, что Дюреру нравилось создавать визуальные головоломки, чтобы с их помощью испытывать и забавлять своих друзей. Вероятно, и «Меланхолия» стоит в том же ряду.
Его решение развернуть квадрат Юпитера на 180° (рис. 26, 27), возможно, было обусловлено спецификой процесса печати. Работавшие в технике гравюры художники, для получения нормального оттиска с вытравленного на пластине изображения, должны были создавать свои композиции в зеркальном виде. Это означает, что любой текст и числа должны были быть первоначально написаны наоборот. Быть может, работая над размещением чисел на гравировальной доске, Дюрер захотел увековечить дату создания картины? Таким образом, повернув традиционный квадрат, он получил искомый 1514 год, прописавшийся в нижнем ряду. Есть еще одна числовая комбинация, о которой Дюрер, безусловно, знал: каждая строка квадрата Юпитера при сложении дает 34, а в 1514 году Альбрехту Дюреру исполнилось тридцать четыре года.
Рис. 25. «Меланхолия» Дюрера
Рис. 26. Квадрат Дюрера
Рис. 27. Квадрат Юпитера
Мы используем квадрат Дюрера для исследования возможностей некоторых квадратов - волшебных или магических. В квадрате 4-го порядка имеется шестнадцать ячеек, содержащих числа от 1 до 16. Принципиальным моментом здесь является местоположение каждого числа.
Игры с математикой квадрата Юпитера
Рисунок 28 демонстрирует математику квадрата Юпитера.
А, В и С. Строки, столбцы и диагонали, как в квадрате Сатурна. Каждое из этих сочетаний в сумме дает 34.
D. То же происходит и с четырьмя углами: 16+13 + 4+1 =34, и
Е. С четырьмя центральными ячейками: 10+11 + 6 + 7 = 34.
F. И даже с парами внутренних чисел, расположенных вдоль внешних краев:
3 + 2 + 15 + 14 (вдоль верхнего и нижнего края) = 34 5 + 9 + 8 + 12 (вдоль левого и правого края) = 34
Рис. 28. Математика квадрата Юпитера
Итак, вот уже четырнадцать различных способов сложения до 34, возможных в этом квадрате, но есть и другие.
G, Н, I, J, К и L показывают еще четырнадцать способов достижения 34 путем сложения конкретных клеток в квадрате Юпитера , и этих способов может быть даже еще больше. Если А, В и С работают во всех планетарных квадратах, то многие из этих вариантов присущи именно данному квадрату. Есть свои хитрости и у других квадратов. Я оставляю за вами право их обнаружения, если, конечно, эта логическая игра захватывает ваше воображение.
Если же вы жаждете более детального и углубленного математического анализа, то обратитесь к соответствующей литературе, представленной в конце книги в библиографии.
Теперь давайте вернемся к мистике.
Планетарные квадраты
Здесь они показаны в порядке возрастания, от меньшего к большему. Важно понимать, что сила воздействия от использования этих квадратов зависит не от бездумного копирования их внешнего вида; она заключена в самом акте их созидания с нуля, в последовательной записи одного числа за другим. Когда вы рисуете свой собственный квадрат, используйте последовательность нумерации для медитации. Вписывайте каждое число в квадрат по очереди - 1, 2, 3 и т. д. - а не просто строчите их ряд за рядом. Совет: сначала пишите цифры карандашом, а затем, обводя их ручкой в соответствующем порядке, - от 1 и далее - фокусируйте на них все свое внимание.
Несколько общих замечаний:
Первое: если вы умножите число в центральной ячейке любого квадрата нечетного порядка на число самого порядка, то вы получите общую сумму чисел в любом ряду/столбце квадрата. Например, у Марса квадрат 5-го порядка, а центральное число - 13, отсюда 5 х 13 = 65 .
Второе: если порядок квадрата делится на 3, то общая сумма квадрата упрощается до числа 9. Во всех других случаях - до числа 10 (до 1).
Третье: для всех квадратов нечетного порядка - Сатурна, Марса, Венеры и Луны - вначале следует определить центр. Число 1 находится непосредственно под центром квадрата, а его самое большое число - непосредственно над центром. Сам центральный квадрат будет содержать число «центра»: 1-2-3-4-5-6-7-8-9. Если вы определите начальную, центральную и конечную точки, то схема этих квадратов нечетного порядка выявится сама собой.
Квадраты четного порядка - Юпитера, Солнца и Меркурия - начинаются с числа 1 в верхнем правом углу и заканчиваются наибольшим числом в левом нижнем углу. Помимо этого, их последовательности хитрее, во всяком случае, на мой взгляд. Удачи в обнаружении их схем!
Квадрат Сатурна
Рис. 29. Квадрат Сатурна
Понимания прошлого опыта;
Развития личной дисциплины;
Правильного использования границ и ограничений;
Осмысления кармы.
Для дополнительной информации обратитесь к материалам раздела «Суббота» в главе № 4 .
Раскладка квадрата: сетка 3 на 3, квадрат 3-го порядка. Содержащиеся числа: от 1 до 9.
Общая сумма каждой строки, столбца и диагонали: 15. Общая сумма всего квадрата: 45.
Деление общей суммы на число порядка: 45; 3 = 15.
Квадрат Юпитера
Используется для усиления/улучшения:
Успеха в судебных делах;
Расширения дела;
Удачи, успеха (и собственного ощущения радости?);
Установления партнерства, союзов;
Духовного роста.
Для дополнительной информации обратитесь к материалам раздела «Четверг» в главе № 4.
Рис. 30. Квадрат Раскладка квадрата: сетка 4 на 4, квадрат 4-го порядка.
Общая сумма каждой строки, столбца и диагонали: 34. Общая сумма всего квадрата: 136.
Деление общей суммы на число порядка: 136: 4 = 34.
Квадрат Марса
Рис. 37. Квадрат Марса
Используется для усиления/улучшения:
Принятых решений;
Физической силы, энергии;
Личной храбрости и силы воли;
Контроля темперамента, страстей;
Благословения транспортных средств и механизмов;
Технических способностей;
Коммерческой кулинарии.
Для дополнительной информации обратитесь к материалам раздела «Вторник» в главе № 4.
Раскладка квадрата: сетка 5 на 5, квадрат 5-го порядка. Содержащиеся числа: от 1 до 25.
Общая сумма каждой строки, столбца и диагонали: 65. Общая сумма всего квадрата: 325.
Деление общей суммы на число порядка: 325: 5 = 65.
Квадрат Солнца
Рис. 32. Квадрат Солнца
Уверенности в себе;
Здоровья, жизненных сил;
Лидерских способностей;
Понимания цели;
Самореализации;
Успеха в новых проектах.
Для дополнительной информации обратитесь к материалам раздела «Воскресенье» в главе № 4.
Раскладка квадрата: сетка 6 на б, квадрат 6-го порядка. Содержащиеся числа: от 1 до 36.
111 Общая сумма всего квадрата: 666.
666: 6 = 111.
Квадрат Венеры
Используется для усиления/улучшения:
Понимания гармонии и красоты;
Способности к дружбе и любви;
Открытости для радости, игривости и романтики;
Любви и взаимоотношений;
Чувственности;
Домашней кулинарии.
Для дополнительной информации обратитесь к материалам раздела «Пятница» в главе № 4.
Раскладка квадрата: сетка 7 на 7, квадрат 7-го порядка. Содержащиеся числа: от 1 до 49.
Общая сумма каждой строки, столбца и диагонали: 175. Рис. 33. Квадрат Венеры Общая сумма всего квадрата: 1225.
Деление общей суммы на число порядка: 1225: 7 = 175.
Квадрат Меркурия
Рис. 34. Квадрат Меркурия
Используется для усиления/улучшения:
Ясности мышления и восприятия;
Четкости и эффективности общения;
Концентрации, особенно в ходе учебы;
Интеллектуальных стремлений, способностей к приобретению знаний;
Контактов на духовном плане;
Безопасности и своевременности путешествий.
Для дополнительной информации обратитесь к материалам раздела «Среда» в главе № 4.
Раскладка квадрата: сетка 8 на 8, квадрат 8-го порядка. Содержащиеся числа: от 1 до 64.
Общая сумма каждой строки, столбца и диагонали: 260. Общая сумма всего квадрата: 2080.
Деление общей суммы на число порядка: 2080: 8 = 260.
Квадрат Луны
Рис. 35. Квадрат Луны
Используется для усиления/улучшения:
Интуиции и инстинкта;
Фертильности (определенной) и творческих способностей;
Эмоциональной настроенности;
Познаний в области психики;
Всех садовых и фермерских начинаний;
Безопасности путешествий по воде.
Для дополнительной информации обратитесь к материалам раздела «Понедельник» в главе № 4.
Раскладка квадрата: сетка 9 на 9, квадрат 9-го порядка.
Общая сумма каждой строки, столбца и диагонали: 369.
Общая сумма всего квадрата: 3321.
Деление общей суммы на число порядка: 3321: 9 = 369.
Использование планетарных квадратов
Выберите планету, традиционная тематика которой соответствует вашим запросам. Например, для улучшения концентрации при подготовке к экзамену логично остановить свой выбор на Меркурии. Открытие нового дела обычно в компетенции Солнца, тогда как усиление товарооборота в уже существующем бизнесе лучше всего обратиться к Юпитеру. Все, что касается ограничений, должно быть адресовано Сатурну. Если же вы желаете благословить и защитить свое новое транспортное средство, то здесь наилучший выбор - Марс.
Одна моя подруга недавно купила дизельную машину, которую она переделала так, что теперь ее можно заправлять использованным растительным маслом. Браво! В качестве воззвания о даровании сохранности машине и ее пассажирам, можно выбрать ключевое слово или коротенькую фразу: «Благослови Мерседес» или «Защити мою машину» или, быть может, «АВС-987», (вымышленный) регистрационный номер. В данном случае подойдет следующее: «Езди хорошо, останься невредимой».
Затем мы ищем числа, соответствующие буквам в выбранной фразе. Наша первая задача состоит в том, чтобы использовать числа от 1 до 9 в качестве ключа для алфавита (рис. 36). Многие из нас, вероятно, Уже знакомы с этим ключом, поскольку он используется в нумерологии и в простом шифровании.
Рис. 36. Алфавитный ключ 1–9
При работе со схемой 1–9 наша фраза будет выглядеть как на рисунке 37.
Рис. 37. «Езди хорошо, останься невредимой», 1–9
Если вы используете квадрат Сатурна или вам нужны буквы от Q до Z в квадрате Юпитера, то вам следует применять шифрование 1–9, показанное на рисунке 36.
Однако мы также пользуемся квадратом Марса, квадратом 5-го порядка, с двадцатью пятью отдельными клетками. Поскольку наша фраза не включает Z, двадцать шестую букву, мы можем, вместо того чтобы задействовать одно число из кода 1–9 для трех разных букв, назначить отдельное число для каждой буквы. Дабы воспользоваться уникальными числами прибегните к ключу 1-26, показанному на рисунке 38.
Рис. 38. Алфавитный ключ 1-26
Примечание : если вы упростите каждое двузначное число, этот шифр, будет соответствовать шифру 1–9 на рисунке 36.
Теперь фраза будет выглядеть как на рисунке 39.
Рис. 39. «Езди хорошо, будь в сохранности», 1-26
Гематрия
Разбирая побуквенно различные слова, мы иногда встречаем удивительные числовые параллели. Например, Поп (лев) выражается в числах как 3-9-6-5; cheetah (гепард) как 3-8-5-5-2-1-8; a tiger (тигр) как 2-9-7_5-9, если работать с набором простых чисел (см. рис. 36). Давая суммы 23, 32 и 32, все они упрощаются до 5.
Если вы находите такие совпадения интригующими, гематрия может стать вашим любимым занятием. Схожая с приведенным примером, но куда более сложная гематрия основывается на двадцати двух буквах древнееврейского алфавита и еще пяти буквах того же алфавита, повторяющихся в несколько отличных формах, когда они исполняют роль окончаний. Итого двадцать семь. Каждой букве присваивается числовое значение, но в отличие от уже виденных нами алфавитов типа A-Z, эти значения зачастую достигают куда более значительных величин - вплоть до трехзначных - так что когда слово записывается подобным образом, сумма может быть внушительной. Другие отличия: в гематрии суммы не упрощаются до однозначных чисел; у каждой буквы есть также глубокий эзотерический смысл; кроме того, гематрия основывается на иврите, а многие из нас работают на родном языке, поскольку заклинание должно быть фонетическим.
«Каббала называет древнееврейский алфавит „буквами ангелов* 1 ». Так написала мадам Блаватская в своей книге «Тайная доктрина» , потому использование ивритских букв в гематрии является одним из способов исследования их божественных ассоциаций. Гематрия глубокое, древнее, сложное и тонкое учение - это самое общее определение того, чем оно занимается.
Согласно гематрии, лев, которого мы упоминали ранее, имеет следующее численное значение: 30 + 10 + 70 + 50 = 160. Тогда как гепард (cheetah ) выглядит гораздо солиднее: 60 (ch) + 8 (долгое е) + 300 (t) + 1 (а) = 369.
Для более глубокой интерпретации обратимся к символике гематрии (рис. 40). С ее точки зрения, имя нашего старого знакомца льва (Поп) слагается из букв, имеющих следующие метафорические значения: «стимул вола», то есть «прут», «рука», «глаз» и «рыба» . Название буквы ламед, часто переводимое как «стимул вола», в более широком смысле может означать нечто вроде «мотиватора». Йод или «рука», возможно, олицетворяет собой стремление к воплощению своих идей в физическую реальность, то есть, буквально, борьбу с судьбой. Айн или «глаз» подразумевает видение и Неприятие, взгляд и понимание. Наконец, Нун или «рыба», должно быть, говорит о негостеприимной для людей окружающей среде и необходимости адаптации для выживания во враждебном мире. Как видим, посредством этого глубокого толкования понятие «лев» обретает куда более сложное символическое значение.
Рис. 40. Древнееврейский гематрический код
Жестокий «король джунглей»? Безусловно, но рассмотренные выше характеристики дают много пищи для размышлений и могут служить руководством для человеческих поступков в условиях «джунглей» современной жизни.
Настоящие практики от гематрии будут использовать не только комплекс метафорических значений букв, слагающих имя объекта исследования, но также изучать и числовую составляющую, в данном случае слова «лев». Какие еще слова дают сумму 160? Можно ли с их помощью расширить наше понимание исследуемого слова?
Вавилоняне также использовали гематрическую систему. У царя Саргона II (ок. 722–705 до н. э.) была стена длиной 16 283 кубита (1 кубит = 0,48 м), построенная на основе числового значения его имени . Этот грандиозный пример может вдохновить нас на самостоятельное использование гематрии, быть может, не для постройки массивных стен, но для куда более скромных измерений и подсчетов, основанных на гематрическом значении собственного имени или качеств, которые мы желали бы заполучить.
Рис. 41. Греческий гематрический код
Так, если бы я делала талисман, способствующий проявлению ранее упомянутых львиных качеств, я бы украсила его числом 160.
Греческие буквы также имеют числовые значения, и существует собственная традиция их изучения (рис. 41). Например, гностическое божество Абраксас имеет числовое значение 365 (1 + 2 + 100 + 1 + 60 + 1 + 200), равное числу дней в году .
В традиционной практике ученые применяют гематрию к священным текстам, выискивая слова с равными числовыми значениями.
Перед первооткрывателем, обнаружившим однажды этот числовой резонанс, может открыться бессчетное количество направлений для исследования. Результат? Тайная гармония, скрытая в паутине взаимосвязей смыслов и совершенно невидимая для случайного читателя того же текста.
Запаситесь терпением: это запросто может оказаться работой на десятилетия.
Неважно, используете вы код с рисунка 36 или с рисунка 38, в любом случае, давайте начинать. Мы собираемся «вписать» фразу «Езди хорошо, останься невредимой» в квадрат Марса (рис. 31), используя числа, которые мы только что подобрали. С этого момента у вас под рукой должны быть калька, линейка и ластик. Для начала проведите «тест-драйв» своей Фразы на кальке, наложенной поверх магического квадрата. Таким образом вы сможете определить, где расположены ваши числа, и избежать ошибок в нарисованном от руки квадрате, над созданием которого вы Долго трудились. Для начала обратитесь к рисунку 42. Как можете убедиться, ваша фраза графически имеет, скорее, приятный дизайн, а не выглядит хаотичным клубком. Редактируйте и вновь воспроизводите свой чертеж - вот для чего вам нужны калька и ластик. Рисуйте линии от руки или при помощи линейки, если хотите, чтобы они были совершенно прямыми. Когда потренируетесь на черновике, уберите кальку и, сфокусировавшись на своих стремлениях, проведите линии на самом квадрате.
Рис. 42. Начало фразы по Марсу
Рис. 43. Конец фразы по Марсу
Рисунок 42. Начало фразы по Марсу: это первые четыре «буквы» (R-u-n w), обозначающиеся числами 18 (со звездочкой), 21, 14 и 23. Ничего обязательного, но запомните, короткие фразы работают лучше, чем словесные нагромождения. На рисунке 43 показывается, как должен выглядеть результат.
Рисунок 43. Конец фразы по Марсу: графическая форма искомой фразы, начало и окончание которой помечены звездочками.
Как правило, создаются и используются квадраты, соответствующие планете, находящейся на тот момент в астрологически благоприятном положении относительно других небесных тел. Можно просто работать в день, связанный с конкретной планетой. Если хотите, очертите круг и определите стороны света перед началом работы.
Экспериментируйте с различными цветами и типами фломастеров, цветных карандашей, экзотической бумаги или чем угодно, что может подстегнуть вашу фантазию. Когда ваш узор будет готов, его можно вырезать или вышить, начертить на водной поверхности или над церемониальным возлиянием. Возможности безграничны. Фиксируйте случаи использования квадратов. Эти записи станут вашим справочником или книгой рецептов для будущего применения. Если что-то работает особенно хорошо, есть смысл вновь и вновь воспроизводить данную процедуру, а в случае неэффективности чего-либо вы можете внести необходимые коррективы.
Что еще можно делать с магическими квадратами
Определите в каждом квадрате его «магическую линию». Делается это следующим образом: найдя число 1, проведите от него линию к числу 2, затем к числу 3 и так далее, по возрастающей, к конечному числу. В результате, перед вашими глазами предстанут великолепные геометрические узоры, которые могут послужить и вполне практическим целям. Планировка сада? Деловой логотип? Татуировка? Наложенный на выбранную карту маршрут для отпуска?
Прочертите линию, соединяющую дату и время вашего рождения. Это действие должно способствовать активизации позитивных талантов и потенциала, имеющихся у вас в наличии. Используйте квадрат планеты, которая управляет вашим знаком, или планеты, положение которой вы находите наиболее благоприятным для вашего колдовства, или же проделывайте это с каждым квадратом, а потом сравнивайте результаты. Таким вот образом можно обнаружить порядок линий, который в дальнейшем станет основой личного магического символа.
Лунный лабиринт
В поисках каких-либо еще магических чудес квадратов я обратилась к замечательной книге Клиффорда А. Пиковера «Дзен магических квадратов, кругов и звезд». Используя магический квадрат 9-го порядка (не квадрат Луны), Пиковер обнаружил интересный геометрический рисунок, получившийся при вымарывании всех нечетных чисел . Я скопировала эту идею, наложив кальку поверх другого квадрата 9-го порядка, настоящего квадрата Луны (рис. 35). Поскольку я использовала другой квадрат, то и получила совершенно иной узор. Потрясенная неожиданным узнаванием, я поняла, что вижу перед собой «семенную диаграмму» - основу для семиоборотного лабиринта (см. рис. 44, 45).
Варианты этого лабиринта обнаружены по всему миру, на пространстве от Крита до юго-запада Америки. Я впервые узнала о «семенной диаграмме» на семинаре по лабиринтам, где мы создавали большой лабиринт на песчаном берегу горного озера . Она состоит из вертикального + (знак плюса) в центре, четырех уголковых L-образных форм и четырех угловых точек. Эти компоненты скрытно присутствуют в обычном квадрате Луны и становятся видимыми только при вымарывании всех нечетных чисел.
Оставив достаточно места по сторонам, вычертите большую семенную диаграмму на песчаном пляже или нарисуйте маленькую на листе бумаги, а затем приступайте к созданию лабиринта. Соединив верхушку главной вертикальной линии с вершиной правого верхнего L (как показано на рис. 45), продолжайте создавать арки, прочерчивая линии слева направо, как показано на рисунке 46 и 47. В общем, если вы начали с линии, то закончите точкой и наоборот. Заметьте, что U-образные «углы» разворота, образующие петли лабиринта, являются также внешними углами квадрата Луны.
Рис. 44. Квадрат Луны, показывающий узор «семенного» лабиринта в виде линий нечетных чисел
Рис. 45. Лабиринт с нарисованной первой аркой
Рис. 46. Лабиринт со второй и третьей арками
Рис. 47. Лабиринт, к которому добавлены четвертая и пятая арки
Рис. 48. Лабиринт, к которому добавлены арки 6, 7 и 8. Теперь у нас есть полный 7-круговой лабиринт
Как и сама Луна, растущая и убывающая справа налево, двигается п о небосводу слева направо, так и вы, будучи в лабиринте, должны перемещаться как посолонь, так и противосолонь. Попробуйте раскрасить созданный на бумаге лабиринт карандашами всех цветов радуги, сменяя один цвет на другой в месте скругления углов.
Несколько необычных дополнительных замечаний:
Первое: в квадрате Луны 81 ячейка и, соответственно, 81 число, а масса самой Луны составляет 1/81 от массы Земли .
Следующее: Земля движется в пространстве со скоростью 28 миль в час; Луна - со скоростью 2268 миль в час. Это означает, что Луна движется в 81 раз быстрее Земли .
Последнее: как вырезано на статуях майя в Паленке «81 луна составляет 2392 дня» . Разделите 2392 на 81 и вы получите 29,53 - число, равное количеству дней в лунном цикле, по подсчетам современных ученых.
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ДЮРЕРА
Магический квадрат, воспроизведённый немецким художником Альбрехтом Дюрером на гравюре “Меланхолия”, известен всем исследователям магических квадратов.
Здесь подробно рассказывается об этом квадрате. Сначала покажу гравюру “Меланхолия” (рис. 1) и магический квадрат, который изображён на ней (рис. 2).
Рис. 1
Рис. 2
Теперь покажу этот квадрат в привычном виде (рис. 3):
|
16 |
3 |
2 |
13 |
|
5 |
10 |
11 |
8 |
|
9 |
6 |
7 |
12 |
|
4 |
15 |
14 |
1 |
Рис. 3
Интересно, что два средних числа в последней строке квадрата (они выделены) составляют год создания гравюры – 1514.
Считают, что этот квадрат, так очаровавший Альбрехта Дюрера, пришёл в Западную Европу из Индии в начале XVI века. В Индии этот квадрат был известен в I веке нашей эры. Предполагают, что магические квадраты были придуманы китайцами, так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской рукописи, написанной за 4000-5000 лет до нашей эры. Вот какой древний возраст у магических квадратов!
Рассмотрим теперь все свойства этого удивительного квадрата. Но делать это мы будем на другом квадрате, в группу которого входит квадрат Дюрера. Это означает, что квадрат Дюрера получается из того квадрата, который мы будем сейчас рассматривать, одним из семи основных преобразований магических квадратов, а именно поворотом на 180 градусов. Все 8 квадратов, образующих данную группу, обладают свойствами, которые будут сейчас перечислены, только в свойстве 8 для некоторых квадратов слово “строка” заменится на слово “столбец” и наоборот.
Основной квадрат данной группы вы видите на рис. 4.
|
1 |
14 |
15 |
4 |
|
12 |
7 |
6 |
9 |
|
8 |
11 |
10 |
5 |
|
13 |
2 |
3 |
16 |
Рис. 4
Теперь перечислим все свойства этого знаменитого квадрата.
Свойство 1 . Этот квадрат ассоциативен, то есть любая пара чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, даёт в сумме 17=1+ n 2 .
Свойство 2. Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках квадрата, равна магической константе квадрата – 34.
Свойство 3. Сумма чисел в каждом угловом квадрате 2х2, а также в центральном квадрате 2х2 равна магической константе квадрата.
Свойство 4. Магической константе квадрата равна сумма чисел на противоположных сторонах двух центральных прямоугольников 2х4, а именно: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.
Свойство 5. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом шахматного коня, а именно: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+2+12=34 и 4+10+13+7=34.
Свойство 6. Магической константе квадрата равна сумма чисел в соответствующих диагоналях угловых квадратов 2х2, примыкающих к противоположным вершинам квадрата. Например, в угловых квадратах 2х2, которые выделены на рис. 4, сумма чисел в первой паре соответствующих диагоналей: 1+7+10+16=34 (это и понятно, так как эти числа расположены на главной диагонали самого квадрата). Сумма чисел в другой паре соответствующих диагоналей: 14+12+5+3=34.
Свойство 7. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом, подобным ходу шахматного коня, но с удлинённой буквой Г. Показываю эти числа: 1+9+8+16=34, 4+12+5+13=34, 1+2+15+16=34,4+3+14+13=34.
Свойство 8. В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 15, и ещё пара тоже радом стоящих чисел, сумма которых равна 19. В каждом столбце квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 13, и ещё пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых равна 21.
Свойство 9. Суммы квадратов чисел в двух крайних строках равны между собой. То же можно сказать о суммах квадратов чисел в двух средних строках. Смотрите:
1 2 + 14 2 + 15 2 + 4 2 = 13 2 + 2 2 + 3 2 + 16 2 = 438
12 2 + 7 2 + 6 2 + 9 2 = 8 2 + 11 2 + 10 2 + 5 2 = 310
Аналогичным свойством обладают числа в столбцах квадрата.
Свойство 10. Если в рассматриваемый квадрат вписать квадрат с вершинами в серединах сторон (рис. 5), то:
а) сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных сторон, и каждая из этих сумм равна магической константе квадрата;
б) равны между собой суммы квадратов и суммы кубов указанных чисел:
12 2 + 14 2 + 3 2 + 5 2 = 15 2 + 9 2 + 8 2 + 2 2 = 374
12 3 + 14 3 + 3 3 + 5 3 = 15 3 + 9 3 + 8 3 + 2 3 = 4624
Рис. 5
Вот такими свойствами обладает магический квадрат с рис. 4.
Следует отметить, что в ассоциативном квадрате, каковым является рассматриваемый квадрат, можно выполнять ещё такие преобразования, как перестановка симметричных строк и/или столбцов. Например, на рис. 6 изображён квадрат, полученный из квадрата с рис. 4 перестановкой двух средних столбцов.
|
Магический квадрат, воспроизведённый немецким художником Альбрехтом Дюрером на гравюре “Меланхолия”, известен всем исследователям магических квадратов. Квадрат в привычном виде (рис. 6.1): Рисунок 6.1 Интересно, что два средних числа в последней строке квадрата (они выделены) составляют год создания гравюры - 1514. Считают, что этот квадрат, так очаровавший Альбрехта Дюрера, пришёл в Западную Европу из Индии в начале XVI века. В Индии этот квадрат был известен в I веке нашей эры. Предполагают, что магические квадраты были придуманы китайцами, так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской рукописи, написанной за 4000-5000 лет до нашей эры. Вот какой древний возраст у магических квадратов! Рассмотрим теперь все свойства этого удивительного квадрата. Но делать это мы будем на другом квадрате, в группу которого входит квадрат Дюрера. Это означает, что квадрат Дюрера получается из того квадрата, который мы будем сейчас рассматривать, одним из семи основных преобразований магических квадратов, а именно поворотом на 180 градусов. Все 8 квадратов, образующих данную группу, обладают свойствами, которые будут сейчас перечислены, только в свойстве 8 для некоторых квадратов слово “строка” заменится на слово “столбец” и наоборот. Основной квадрат данной группы вы видите на рис. 6.2.  Рисунок 6.2 Свойства данного квадрата:. Свойство 1. Этот квадрат ассоциативен, то есть любая пара чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, даёт в сумме 17=1+n2. Свойство 2. Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках квадрата, равна магической константе квадрата - 34 . Свойство 3. Сумма чисел в каждом угловом квадрате 2х2, а также в центральном квадрате 2х2 равна магической константе квадрата. Свойство 4. Магической константе квадрата равна сумма чисел на противоположных сторонах двух центральных прямоугольников 2х4, а именно: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34. Свойство 5 . Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом шахматного коня, а именно: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+2+12=34 и 4+10+13+7=34. Свойство 6 . Магической константе квадрата равна сумма чисел в соответствующих диагоналях угловых квадратов 2х2, примыкающих к противоположным вершинам квадрата. Например, в угловых квадратах 2х2, которые выделены на рис. 4, сумма чисел в первой паре соответствующих диагоналей: 1+7+10+16=34 (это и понятно, так как эти числа расположены на главной диагонали самого квадрата). Сумма чисел в другой паре соответствующих диагоналей: 14+12+5+3=34. Свойство 7. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом, подобным ходу шахматного коня, но с удлинённой буквой Г. Показываю эти числа: 1+9+8+16=34, 4+12+5+13=34, 1+2+15+16=34, 4+3+14+13=34. Свойство 8 . В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 15, и ещё пара тоже радом стоящих чисел, сумма которых равна 19. В каждом столбце квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 13, и ещё пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых равна 21. мозг клетка квадрат судоку Свойство 9 . Суммы квадратов чисел в двух крайних строках равны между собой. То же можно сказать о суммах квадратов чисел в двух средних строках. Смотрите: 12 + 142 + 152 + 42 = 132 + 22 + 32 + 162 = 438 122 + 72 + 62 + 92 = 82 + 112 + 102 + 52 = 310 Аналогичным свойством обладают числа в столбцах квадрата. Свойство 10. Если в рассматриваемый квадрат вписать квадрат с вершинами в серединах сторон (рис. 6.3), то:
 Рисунок 6.3 Вот такими свойствами обладает магический квадрат с рис. 5.2 Следует отметить, что в ассоциативном квадрате, каковым является рассматриваемый квадрат, можно выполнять ещё такие преобразования, как перестановка симметричных строк и/или столбцов. Например, на рис. 5.4 изображён квадрат, полученный из квадрата с рис. 4 перестановкой двух средних столбцов.  Рисунок 6.4 В полученных такими преобразованиями новых ассоциативных квадратах выполняются не все перечисленные выше свойства, но многие свойства имеют место. Читателям предлагается проверить выполнение свойств в квадрате с рис. 6.4. |